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试卷名称:考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷31

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上一题：设A,B为三阶矩阵，且AB=A-B,若λ₁,λ<...

下一题：设方程组[*]有无穷多个解，[*],[*]为矩阵A的分别属于特征值λ<...

解答题

若A～B,证明：存在可逆矩阵P,使得AP～BP.

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设A为n阶矩阵，下列结论正确的是（）。矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等若A～B,则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵若r(A)=r＜n,则A经过有限次初等行变换可化为[*] 若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等

设[*]，方程组AX=Β有解但不唯一。

若A～B,证明：存在可逆矩阵P,使得AP～BP.

若a₁，a₂，a₃是三维线性无关的列向量，A是三阶方阵，且Aa₁=a₁+a₂,Aa₂=a₂+a₃,Aa₃=a₃+a₁,则|A|=_____.

设A为n阶非零矩阵，且A²=A,r(A)=r(0＜r＜n).求|5E+A|。

设[*]有三个线性无关的特征向量，且λ=2为A的二重特征值，求可逆矩阵P,使得P^-1AP为对角矩阵。

设矩阵[*]为A^*对应的特征向量。

设A,B为三阶矩阵，且AB=A-B,若λ₁,λ₂,λ₃为A的三个不同的特征值，证明：

设方程组[*]有无穷多个解，[*],[*]为矩阵A的分别属于特征值λ₁=1,λ₂=-2,λ₃=-1的特征向量。

设[*],求a,b及正交矩阵P,使得P^TAP=B.

设A为n阶矩阵，a₁,a₂,...,a_n是n维列向量，且a_n≠0,若 Aa₁=a₂，Aa₂=a₃，...,Aa_n-1=a_n,Aa_n=0.

设三阶矩阵A的特征值为-1,1,2，其对应的特征向量为a₁，a₂，a₃，令P=(3a₂，-a₃,2a₁),则P^-1AP等于（）。 [*]

设A是n阶矩阵，下列命题错误的是（）。若A²=E,则-1一定是矩阵A的特征值若r(E+A)＜n，则-1一定是矩阵A的特征值若矩阵A的各行元素之和为-1，则-1一定是矩阵A的特征值若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则-1一定是A的特征值

设三阶矩阵A的特征值为λ₁=-1,[*],其对应的特征向量a₁，a₂，a₃，令P=（2a₃，-3a₁，-a₂），则P^-1(A^-1+2E)P=_________.

设[*]有三个线性无关的特征向量，则a=_______.

设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A^*)²-4E的特征值为0,5，32.求A^-1的特征值并判断A^-1是否可对角化。

设二维非零向量a不是二阶方阵A的特征向量。

设[*],求a,b及可逆矩阵P,使得P^{-1^AP=B.}

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