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试卷名称:考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷30

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选择题

设A,B为n阶可逆矩阵，则（）。

A．存在可逆矩阵P,使得P^-1AP=B

B．存在正交矩阵Q,使得Q^TAQ=B

C．A,B与同一个对角矩阵相似

D．存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B

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设A,B为n阶矩阵，且A,B的特征值相同，则（）。 A,B相似于同一个对角矩阵存在正交阵Q,使得Q^TAQ=B r(A)=r(B) 以上都不对

设A,B为n阶可逆矩阵，则（）。存在可逆矩阵P,使得P^-1AP=B 存在正交矩阵Q,使得Q^TAQ=B A,B与同一个对角矩阵相似存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B

设[*]有三个线性无关的特征向量，则a=________.

设A,B为n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n,证明：A,B有公共的特征向量。

设A为三阶实对称矩阵，a₁=（a,-a,1)^T是方程组AX=0的解，a₂=（a,1,1-a)^T是方程组（A+E)X=0的解，则a=______.

设矩阵[*].

设[*]有三个线性无关的特征向量，求a及Aⁿ.

设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且λ₁=2是A的特征值，对应特征向量为（-1,0,1）^T.

与矩阵[*]相似的矩阵是（）。 [*]

设[*],|A|﹥0,且A^*的特征值为-1，-2,2，则a₁₁+a₂₂+a₃₃=________.

设λ₁，λ₂，λ₃是三阶矩阵A的三个不同特征值，a₁，a₂，a₃分别是属于特征值λ₁，λ₂，λ₃的特征向量，若a₁，A(a₁+a₂),A²(a₁+a₂+a₃)线性无关，则λ₁，λ₂，λ₃满足__________.

设[*].

设[*]有四个线性无关的特征向量，求A的特征值与特征向量，并求A²⁰¹⁰.

设A为三阶矩阵，ξ₁,ξ₂,ξ₃是三维线性无关的列向量，且 Aξ₁=-ξ₁+2ξ₂+2ξ₃，Aξ₂=2ξ₁-ξ₂-2ξ₃，Aξ₃=2ξ₁-2ξ₂-ξ₃.

设[*]的一个特征值为λ₁=2,其对应的特征向量为ξ₁=[*].

设A是三阶矩阵，a₁,a₂,a₃为三个三维线性无关的列向量，且满足 Aa₁=a₂+a₃，Aa₂=a₁+a₃,Aa₃=a₁+a₂.

若A可逆且A～B，证明：A^*～B^*.

设A为三阶方阵，A的每行元素之和为5，AX=0的通解为[*],设[*],求AΒ.

设[*]，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵。

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