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试卷名称:考研数学二（二次型）模拟试卷23

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上一题：设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零，证明：A为正定矩阵。

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解答题

设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵，证明：B^TAB正定的充分必要条件是r(B)=n.

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设[*],则A与B（）。合同且相似相似但不合同合同但不相似既不相似又不合同

设齐次线性方程组[*]有非零解，且[*]为正定矩阵，求a,并求出当|X|=[*]时，X^TAX的最大值。

设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零，证明：A为正定矩阵。

设A是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量X,有X^TAX=0,则（）。 |A|=0 |A|﹥0 |A|＜0 以上都不对

f(x₁,x₂,x₃,x₄)=X^TAX的正惯性指数是2，且A²-2A=O,该二次型的规范形为______.

设A为m×n阶实矩阵，且r(A)=n,证明：A^TA的特征值全大于零。

设二次型[*],经过正交变换X=QY化为标准形[*],求参数a,b及正交矩阵Q.

设A是n阶正定矩阵，证明：对任意的可逆矩阵P,P^TAP为正定矩阵。

设P为可逆矩阵，A=P^TP.证明：A是正定矩阵。

设A,B为n阶正定矩阵，证明：A+B为正定矩阵。

三元二次型f=X^TAX经过正交变换化为标准形[*],且A^*+2E的非零特征值对应的特征向量为[*],求此二次型。

设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵，证明：B^TAB正定的充分必要条件是r(B)=n.

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