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试卷名称:考研数学三（一元函数微分学与一元函数积分学）模拟试卷3

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选择题

设f(x)，g(x)是连续函数，当x→0时，f(x)与g(x)是等价无穷小，令F(x)＝f(x－t)dt，G(x)＝xg(xt)dt，则当x→0时，F(x)是G(x)的( )．

A．高阶无穷小

B．低阶无穷小

C．同阶但非等价无穷小

D．等价无穷小

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设F(x)＝[*]e^sintsintdt，则F(x)( )．为正常数为负常数为零取值与z有关

[*]max{x＋2，x²}dx＝_____________．

[*]dx＝_____________．

f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f’(0)＝0．证明：存在ξ∈(－1，1)，使得f’”(ξ)＝3．

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f”(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，C为(0，1)内任意一点．

设f(x)二阶可导，[*]＝1且f“(x)＞0．证明：当x≠0时，f(x)＞x．

设f(x)，g(x)是连续函数，当x→0时，f(x)与g(x)是等价无穷小，令F(x)＝[*]f(x－t)dt，G(x)＝[*]xg(xt)dt，则当x→0时，F(x)是G(x)的( )．高阶无穷小低阶无穷小同阶但非等价无穷小等价无穷小

设a＝[*]dt，β＝[*]dt，则当x→0时，两个无穷小的关系是( )．高阶无穷小低阶无穷小同阶非等价无穷小等价无穷小

[*]dx＝_____________．

[*]dx＝_____________．

[*]dx＝_____________．

[*]arctanxdx＝_____________．

设f(x)在[－a，a](a>0)上有四阶连续的导数，且[*]存在．

设f(x)在[a，b]上连续，且f“(x)＞0，对任意的x₁，x₂∈[a，b]及0＜λ＜1，证明： f[λx₁＋(1－λ)x₂]≤λf(x₁)＋(1－λ)f(x₂)．

[*]dx＝_____________．

[*]dx＝_____________．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导．证明：存在ξ∈(a，b)，使得 f(b)－2f([*])＋f(a)＝[*]f”(ξ)．

设f(x)在x₀的邻域内四阶可导，且｜f⁽⁴⁾(x)｜≤M(M＞0)．证明：对此邻域内任一异于x₀的点x，有｜f“(x₀)－[*]≤[*](x－x₀)²，其中x’为x关于x₀的对称点．

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，f’＋(a)f’－(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g“(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得[*]

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，且f’＋(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f“(ξ)<0．

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