考研数学三（常微分方程与差分方程与行列式）模拟试卷2 - 众享搜题网

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二阶常系数非齐次线性微分方程y”－2y’－3y＝(2x＋1)e^－x的特解形式为( )． (ax＋b)e^－x x²e^－x x²(ax＋b)e^－x x(ax＋b)e^－x

设φ₁(x)，φ₂(x)，φ₃(x)为二阶非齐次线性方程y“＋a₁(x)y’＋a₂(x)y＝f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )． C₁[φ₁(x)＋φ₂(x)]＋C₂φ₃(x) C₁[φ₁(x)－φ₂(x)]＋C₂φ₃(x) C₁[φ₁(x)＋φ₂(x)]＋C₂[φ₁(x)－φ₃(x)] C₁φ₁(x)＋C₂φ₂(x)＋C₃φ₃(x)，其中C₁＋C₂＋C₃＝1

设a₁，a₂，a₃，β₁，β₂都是四维列向量，且｜A｜＝｜a₁，a₂，a₃，β₁｜＝m，｜B｜＝｜a₁，a₂，β₂，a₃＝n，则｜a₃，a₂，a₁，β₁，β₂｜为( )． m＋n m－n －(m＋n) n－m

设y(x)为微分方程y“－4y’＋4y＝0满足初始条件y(0)＝1，y’(0)＝2的特解，则[*]y(x)dx＝_____________．

差分方程y_t＋1－2y_t＝3×2^t的通解为y(t)＝_____________．

设D＝[*]，则A₃₁＋A₃₂＋A₃₃＝_____________．

设A为三阶正交矩阵，且｜A｜＜0，｜B－A｜＝－4，则｜E－AB^T｜＝_____________．

设A为n阶矩阵，且｜A｜＝a≠0，则｜(kA)^*｜＝_____________．

设f(x)是连续函数．

设y＝y(x)二阶可导，且y’≠0，x＝x(y)是y＝y(x)的反函数．

设函数f(x，y)可微，[*]＝－f(x，y)，f(0，[*])＝1，且[*]＝e^coty，求f(x，y)．

设函数f(x)满足xf’(x)－2f(x)＝－x，且由曲线y＝f(x)，x＝1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D．若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：

位于上半平面的上凹曲线y＝y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与[*]及1＋y’²之积成反比，比例系数为k＝[*]，求y＝y(x)．

一条曲线经过点(2，0)，且在切点与y轴之间的切线长为2，求该曲线．

设曲线L₁与L₂皆过点(1，1)，曲线L₁在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L₂在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积．

用变量代换x＝sint将方程(1－x²)[*]－x[*]－4y＝0化为y关于t的方程，并求微分方程的通解．

用变量代换x＝lnt将方程[*]＋e^2xy＝0化为y关于t的方程，并求原方程的通解．

设y＝y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为[*]，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1，求该曲线方程，并求函数y(x)的极值．

细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24小时内由100增长到400，求前12小时后的细菌总数．

某湖泊水量为V，每年排入湖泊中内含污染物A的污水量为[*]，流入湖泊内不含A的水量为[*]，流出湖的水量为[*]．设1999年底湖中A的含量为5m₀，超过国家规定指标．为了治理污染，从2000年初开始，限定排入湖中含A污水的浓度不超过[*]．问至多经过多少年，湖中污染物A的含量降到m₀以内(设湖中A的浓度是均匀的)?

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